特征值与特征向量--题型解析

丫头1810

特征值与特征向量--题型解析

线代作为考研数学三个科目之一，内容虽然不多，理论知识相对简单，每年考题的变化最较小，考生的得分率虽比前几年有所提高，但总得来看依旧偏低。要将线性代数特征值与特征向量的相关内容复习全面，不仅要对大纲内容熟悉，而且要选择最佳的学习方法。

纵观近最近几年真题，几乎每年都会出现关于特征值与特征向量的题目，所以理解特征值与特征向量的概念，熟悉与之相关的题型及解法，对于取得这部分题目的分数尤为重要。

下面我们解析2014年有关真题.

【例题】（2014真题）证明n阶矩阵file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps_clip_image-7730.png与file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps_clip_image-29694.png相似.

解：已知file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps_clip_image-9942.png，file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps_clip_image-7622.png

则file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps_clip_image-17917.png的特征值为file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps_clip_image-13298.png，file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps_clip_image-19767.png故file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps_clip_image-21290.png相似对角阵file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps_clip_image-6781.png.

file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps_clip_image-3502.png的特征值为file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps_clip_image-6804.png，file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps_clip_image-15014.png故file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps_clip_image-22414.png相似对角阵file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps_clip_image-21802.png

由相似关系的传递性，A相似B

注：本题关键是熟练会求秩为1的矩阵的特征值.

【例题】2014真题；设二次型file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps_clip_image-15439.png的负惯性指数为1，则file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps_clip_image-4133.png的取值范围为_______.

解：file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps_clip_image-15681.png

file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps_clip_image-11975.png

因二次型的负惯性指数为1，所以file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps_clip_image-22424.png即file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps_clip_image-27945.png

注：按照常规方法，二次型的负惯性指数为1与二次型对应的矩阵有且仅有一个负特征值等价，但是如果按照这种思路来做，发现计算相等麻烦，因此这里利用特征值判断正负惯性指数的方法失效，我们这里利用配方法求解显得非常简单.

根据最近几年的真题，不难看出关于特征向量与特征值的题型主要有：根据已知条件求特征值及其特征向量，已知某个特征值及特征向量求其他特征值与特征向量或其中所含参数，根据所给式子得到隐含其中的特征值与特征向量，再求其他特征值及特征向量，根据求得的特征值与特征向量讨论矩阵是否可对角化或求二次型的规范形或由规范形求参数等。