2013考研数学线性代数重要知识点 ——管理员送给在暑假苦苦复习的研友们...

杨某某

线性代数的概念很多，重要的有：代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。跨考李老师为大家分析考研数学线性代数重要知识点。

一、课程特点

特点一：知识点比较细碎。

如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多。

特点二：知识点间的联系性很强。

这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。

复习线代时，要做到"融会贯通"。

"融会"--设法找到不同知识点之间的内在相通之处；

"贯通"--掌握前后知识点之间的顺承关系。

二、行列式与矩阵

第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于相关性质，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。

三、向量与线性方程组

向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。

向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组(一般式)

还具有两种形式：(1)矩阵形式，(2)向量形式。

1．齐次线性方程组与线性相关、无关的联系

齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立；印证了向量部分的一条性质"零向量可由任何向量线性表示"。

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解；②有非零解。当齐次线性此方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立；但向量部分中判断向量组是否线性相关无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。

2．齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系

同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是"极大线性无关组中的向量个数"。经过"秩→线性相关无关→线性方程组解的判定"的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。

3．非齐次线性方程组与线性表示的联系

非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示，使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。

四、特征值与特征向量

相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容--既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，"牵一发而动全身"。本章知识要点如下：

1．特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。

2．相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合同：

3．矩阵可相似对角化的条件，包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件1是n阶矩阵有n个线性无关的特征值；充要条件2是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。

4．实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正交相似于对角阵。

五、二次型

本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为"对于实对称矩阵存在正交矩阵使得可以相似对角化"，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。

新东方网络课堂：2013考研数学线性代数重要知识点的延伸阅读——2013考研数学怎么复习

“凡事预则立，不预则废！”  复习规划也是一样的道理。全国硕士 研究生 入学统一考试数学考试总分150分，是三门公共课中分值最大的，所以数学复习的合理规划对于考研成功起着举足轻重的作用。

如何复习好数学取得140分以上的高分？文都考研命题组老师在这里想对大家说：早动手。如果想取得高分，基础知识一定要扎实、深入，所以最少提前一年开始复习基本知识是必要的。考研数学大纲要求的考试内容除个别知识点外都是大学数学教材中的知识，也是考生在大学一二年级学习过的，但是到了三四年级或者对于已经毕业一两年的考生来说，基本知识已经有相当程度的陌生感，所以必须重新从教材入手。需要相当一段时间将回生的知识再捡起来，早动手就显得尤其必要。教材的使用一般以自己大学教材为蓝本，但因各个学校所选用的教材与大学培养目标与一致的，所以这些教材编写也各有特色。从现在普遍使用的教材的来看，与考研最为接近的还是同济编的高数、线代及浙大的概率。

带着思考与创意读书。看书，特别是数学书，不仅是眼睛在劳动，还需要大量调动大脑的参与积极性以及手对笔头的操作演练。常常数学教材中的一句话，在头脑中牵涉到的知识点有若干个，横向的、纵向的，同一科目的、另一科目的等等。比如求极限的方法：极限本身仅是一个工具，函数连续性、导数、定积分、级数的收敛性等均是由极限定义的；反过来，某些特殊的极限又可以逆向转化为函数连续点、可导函数的可导点、某一区间的定积分、收敛级数的一般项等来求得极限值。复习数学一定要在头脑清醒、思维敏捷的时段，也要有意激发脑细胞的兴奋性，以达事半功倍之效。对于自己难理解的概念或定理，思考与类比是好方法，特别是可以与几何图书结合起来的加深印象。虽然高等数学与应用的联系稍嫌松散，特别是一些抽象的概念与定理，但如果能够把它们与现实联 系起来思考，那么数学的趣味性丝毫不亚于一部漫画。